mise à jour : 31-03-2010


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complément
Méthode de Lagrange


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Méthode de Lagrange

intégration de l'équation (2) :

L'intégration de l'équation (1) donnant A = A0 e−k1t, l'équation (2) devient :

dB/dt  =  k1A0 e−k1t − k2B

soit

dB/dt + k2 B  =  k1A0 e−k1t     (a)

Il s'agit donc d'une équation différentielle du premier ordre, linéaire, avec second membre variable. On peut l'intégrer par la méthode de Lagrange ou de "variation des constantes".

Une autre méthode sera donnée ultérieurement dans un cas beaucoup plus général.

1) Solution de l'équation sans second membre

Sans second membre et après séparation des variables, l'équation (a) devient

dB / B  =  − k2 dt     (b)

d'où

ln B  =  − k2 t + K1

B  =  e−k2t + K1  =  K'1 e−k2t     (c)

K'1 étant la constante d'intégration, pour l'instant indéterminée. La méthode de Lagrange consiste à considérer cette constante comme une fonction inconnue, qui doit être compatible avec l'équation complète (a).

2) Détermination de la fonction inconnue K'1

Dérivons d'abord l'équation (c) :

dB/dt  =  dK'1/dt e−k2tK'1 k2 e−k2t       (d)

et reportons les expressions (c) et (d) dans l'équation complète (a) :

dK'1/dt e−k2tK'1 k2 e−k2t + k2 K'1 e−k2t  =   k1A0 e−k1t

qui se simplifie en une équation à variables séparées :

dK'1  =  k1A0 e(k2−k1)t dt     (e)

Une telle simplification doit toujours avoir lieu dans le calcul des équations différentielles de ce type.

Pour intégrer l'équation (e), il faut considérer les deux cas :

a)   k2  ≠  k1

K'1  =  [ k1A0 / (k2−k1) ] e(k2−k1)t+ K2

soit, en revenant à l'équation (c) :

B  =  { [ k1A0 / (k2−k1) ] e(k2−k1)t  +  K2 } e−k2t     (f)  

Pour déterminer la nouvelle constante d'intégration K2, il suffit de considérer, par exemple, que  B = 0  pour  t = 0, et on obtient

K2  =  − [ k1A0 / (k2−k1) ]

soit, après réarrangements :

B  =  [ k1A0 / (k2−k1) ] ( e−k1t  − e−k2t )     (5)

Le calcul de C se fait en utilisant la relation    C = A0−A−B.

b)   k2  =  k1

Dans ce cas l'équation (e) devient

dK'1  =  k1A0 dt     (e')

K'1  =  k1A0 t + K2

B  =  (k1A0 t + K2) e−k1t     (f')

K2 est déterminé en faisant  B = 0  à  t = 0 :      K2 = 0

d'où

B  =  k1A0 t e−k1t     (5')