complément

réaction trimoléculaire    A + B + C → P     k     (r 8)

intégration de l'équation cinétique :

dx/dt  =  −dA/dt  =  k(A₀−x)(B₀−x)(C₀−x)     (36) 

avec

x  =  A₀−A  =  B₀−B  =  C₀−C

et l'équation à intégrer est

∫_0→x dx / [(A₀−x)(B₀ −x)(C₀−x)]  =  k ∫_0→t dt

Déterminons les constantes P, Q et R pour réduire la fraction rationnelle en éléments simples :

1 / [(A₀−x)(B₀ −x)(C₀−x)] =  P/(A₀−x) + Q/(B₀ −x) + R/(C₀−x)

après réduction au même dénominateur du second membre, l'identification des numérateurs conduit à

(P+Q+R)x² −[P(B₀+C₀)+Q(C₀+A₀)+R(A₀+B₀)]x + PB₀C₀+QC₀A₀+RA₀B₀ ≡ 1

qui doit être vérifié quel que soit A ; P,Q,R doivent donc être solution du système :

P + Q + R  =  0     (a)

P(B₀+C₀) + Q(C₀+A₀) + R(A₀+B₀)  =  0     (b)

PB₀C₀ + QC₀A₀ + RA₀B₀   =  1     (c)

Le système (a)(b)(c) se résout par élimination, par exemple :

(a)×B₀C₀−(c) :  QC₀(B₀−A₀) + RB₀(C₀−A₀) = −1     (c')

(a)×(B₀+C₀)−(b) :  Q(B₀−A₀) + R(C₀−A₀)  =  0     (b')

(c')−(b')×C₀ :  R(C₀−A₀)(B₀−C₀)  =  −1

d'où

R  =  −1 / [(C₀−A₀)(B₀−C₀)]

P et Q peuvent être calculés en poursuivant l'élimination (il n'est pas inutile de vérifier !), mais on peut aussi tirer parti de la symétrie, à condition de respecter l'ordre de permutation des couples : A-B, B-C, C-A ; on a alors immédiatement :

P  =  −1 / [(A₀−B₀)(C₀−A₀)]

Q  =  −1 / [(B₀−C₀)(A₀−B₀)]

L'intégration de l'équation (36) est alors immédiate :

−P ln [(A₀−x)/A₀] − Q ln [(B₀−x)/B₀] − R ln [(C₀−x)/C₀] = kt

soit,

(B₀−C₀) ln [(A₀−x)/A₀] + (C₀−A₀) ln [(B₀−x)/B₀] + (A₀−B₀) ln [(C₀−x)/C₀] = (A₀−B₀)(B₀−C₀)(C₀−A₀) kt

identique à l'équation (37) du cours.