mise à jour : 31-03-2010


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complément  Transformées de Laplace


complément

Table de transformées de Laplace

Les tables de transformées de Laplace servent surtout à trouver les originaux −1, en utilisant parallèlement les propriétés de linéarité.

Il y est fait appel à la fonction unité ou fonction échelon de Heaviside :

u(t) = 1    pour t ≥  0
   u(t) = 0    pour t < 0 

et à la distribution de Dirac :

δ(t) = ∞   pour t = 0
   δ(t) = 0    pour  t ≠ 0

son intégrale est égale à 1, et elle correspond à la "dérivée" de la fonction unité.


Dans la table ci-dessous, n désigne un entier, ≥ 0 ;

k1, k2, k3 ou τ1, τ2, τ3 désignent des valeurs quelconques mais différentes ;

toutes les fonctions f(t) sont en réalité multipliées par u(t).


principales transformées de Laplace
. f(t) = ℒ−1F(s)     (t ≥ 0)  F(s) = ℒ f(t)
1 δ(t) 1
2 δ(t − τ) e−τs
3 u(t)         (= 1) 1 / s
4 u(t − τ) e−τs / s
5 t  1 / s2
6 tn−1 / (n − 1)! 1 / sn
7 e−kt  1 / (s + k)
e−t / τ 1 / (1 + τ s)
8 t e−kt  1 / (s + k)2
et/τ / τ2 1 / (1 + τ s)2
9 tn−1 e−kt / (n− 1)! 1 / (s + k)n
tn−1 e−t / [ τn (n− 1)! ] 1 / (1 + τ s)n
10 (1 − e−kt) / k 1 / [ s (s + k) ]
1 − e−t 1 / [ s (1 + τ s) ]
11 (kt − 1 + e−kt) / k2 1 / [ s2 (s + k) ]
t − τ + τ e−t 1 / [ s2 (1 + τ s) ]
12 [1 − (1 − k t) e−kt ] / k2 1 / [ s (s + k)2 ]
1 − (1 + t/τ) et 1 / [ s (1 + τ s)2 ]
13 [ t − 2/k + (t + 2/k) e−kt ] / k2 1 / [ s2 (s + k)2 ]
t − 2τ + (t + 2τ) e−t/τ 1 / [ s2 (1 + τ s)2 ]
14 (e−k1t − e−k2t ) / (k2 − k1) 1 / [ (s + k1) (s + k2) ]
(et1 − et2) / (τ1 − τ2) 1 / [ (1 + τ1s) (1 + τ2s) ]
15 1 − (τ1et1 − τ2et2) / (τ1 − τ2) 1 / [ s (1 + τ1s) (1 + τ2s) ]
16
t − (τ1 + τ2) − (τ22et2 − τ12et1) / (τ1 − τ2) 1 / [ s2 (1 + τ1s) (1 + τ2s) ]
17 e−k1t / [(k2−k1)(k3−k1)]
      + e−k2t / [(k1−k2)(k3−k2)]
      + e−k3t / [(k1−k3)(k2−k3)]
1/ [ (s + k1)(s + k2)(s + k3) ]
18 (1 − kt) e−kt s / (s + k)2
(τ − t) et / τ3 s / (1 + τs)2
19 (k2 e−k2t − k1 e−k1t ) / (k2 − k1) s / [ (s + k1) (s + k2) ]
20 cos kt s / ( s2 + k2)
21 sin kt k / ( s2 + k2)
22 (e−k2t − e−k1t) / t ln [ (s + k1) / (s + k2) ]